☛ Barycentre de trois points

Énoncé

Soit \(\text{ABC}\) un triangle. On considère les points \(\text{I}\) et \(\text{J}\) tels que :

• \(\text{I}\) est le milieu du segment \([\text{AB}]\) ;
  
• \(\text{J}\) est le point tel que \(\overrightarrow{\text{AJ}} = \dfrac{1}{6} \overrightarrow{\text{AC}}\).

1. Faire une figure et placer les points \(\text{I}\) et \(\text{J}\).

2. Soit \(\text{G}\) le point tel que \(\overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AC}}\). 
    a. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que \(\overrightarrow{\text{JG}}= \overrightarrow{\text{AI}}\).
    b. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère \(\text{AIGJ}\) ? Placer le point \(\text{G}\).

3. Démontrer que \(2\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=\overrightarrow{0}\).
On dit que le point \(\text{G}\) est le barycentre des points pondérés \((\text{A};2), (\text{B};3)\) et \((\text{C};1)\).

Solution

1.

2. a. On a \(\overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\text{AC}}\) donc \(\overrightarrow{\text{AJ}} + \overrightarrow{\text{JG}}=\overrightarrow{\text{AI}}+\overrightarrow{\text{AJ}}\) donc \(\boxed{\overrightarrow{\text{JG}} = \overrightarrow{\text{AI}}}\).
    b. Puisque \(\overrightarrow{\text{JG}} = \overrightarrow{\text{AI}}\), le quadrilatère \(\text{AIGJ}\) est un parallélogramme.

\(\begin{array}{rcl}\textbf{3.} \text{ On a }2\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}} & = & 2\overrightarrow{\text{GA}}+ 3\left(\overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{AB}} \right)+ \overrightarrow{\text{GA}} + \overrightarrow{\text{AC}} \\& = & 6\overrightarrow{\text{GA}} + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & -6\overrightarrow{\text{AG}} + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & -6 \left( \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{6} \overrightarrow{\text{AC}} \right) + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & -3 \overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AC}} + 3 \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}}\\& = & \overrightarrow{0} \\\end{array}\)

Culture mathématique
Le barycentre est un point qui est la "moyenne pondérée" de plusieurs points. Le barycentre est utilisé dans de nombreuses sciences, notamment en physique et en astronomie.
En astronomie, il est utilisé pour décrire le mouvement des planètes et des étoiles dans l'espace. Par exemple, le barycentre du système solaire est le point autour duquel toutes les planètes tournent, la pondération étant la masse des planètes.